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Project Euler - Problem 15

問題

  • 原文

    How many routes are there through a 20・20 grid?

  • 日本語訳

    20 ・ 20 のマス目ではいくつのルートがあるか。

解答

グリッド上の座標を(x, y)で表すこととし、左上の始点を(0, 0)、右下の終点を(20, 20)と定めます。 座標(x, y)から(20, 20)へのルート数をroutesFrom(x, y)と書くことにすると、この問題はroutesFrom(0, 0)を求める問題に相当します。 routesFrom(x, y)は次のようにして求められます:

  1. routesFrom(x, y) = 1 (x = 20, y = 20)
  2. routesFrom(x, y) = 0 (x > 20 or y > 20)
  3. routesFrom(x, y) = routesFrom(x + 1, y) + routesFrom(x, y + 1) (otherwise)

routesFrom(0, 0)の計算量はグリッドの大きさnの増加に対応して急激に大きくなります(多分計算量の上限はO(2^n)くらい)。 routesFrom(0, 0) = routesFrom(1, 0) + routesFrom(0, 1) = routesFrom(2, 0) + routesFrom(1, 1) + routesFrom(1, 1) + routesFrom(0, 2) = ...といったように、基底ケース(上の1.と2.)に行き当たるまで倍々に項が増えていきます。今回はn=20なので、このままでは現実的な時間内に終わりません。

別々のルートが同じ座標を通ることはよくあります。先ほどの展開でroutesFrom(1, 1)という項が2回出てきているのは、(0, 0)から(1, 1)に至るルートが2つ存在するからです。 その座標に至るまでのルートに関わらずそれ以降に取り得るルートの数は同じなので、routesFrom(x, y)の値をメモ化することで膨大な計算を省くことができます。

(use srfi-1)
(define (count-routes num-cells)
  (define lookup-table (make-vector (+ num-cells 1)))
  (define (routes-from x y) (ref (ref lookup-table y) x))
  (define (count-routes-1 x y)
    (cond
     ((or (> x num-cells) (> y num-cells)) 0)
     ((and (= x num-cells) (= y num-cells)) 1)
     ((not (zero? (routes-from x y))) (routes-from x y))
     (else
      (let ((num-routes (+ (count-routes-1 (+ x 1) y)
                           (count-routes-1 x (+ y 1)))))
        (set! (routes-from x y) num-routes)
        num-routes))))
  (set! (setter routes-from)
        (lambda (x y num-routes) (set! (ref (ref lookup-table y) x) num-routes)))
  (for-each (lambda (i)
              (set! (ref lookup-table i) (make-vector (+ num-cells 1) 0)))
            (iota (+ num-cells 1)))
  (count-routes-1 0 0))
(define (solve) (count-routes 20))
(define (main argv)
  (display (solve))
  (newline))

コメント

  1. 40C20 = 137846528820
    組合せの問題として考えるといいですよ。

    返信削除
  2. あぁそうか!参考になります。
    組み合わせや順列は一等苦手なんですが、こういう問題にはそのまま使えるんですね。復習しなければ。

    返信削除

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この文書についてこれはCommunity Scheme Wikiで公開されているcomposable-continuations-tutorial(2010年09月30日版)の日本語訳です。誤字脱字・誤訳などがありましたらコメントあるいはメールで御指摘いただけると幸いです。本訳は原文のライセンスに基づきCreative Commons Attribution-ShareAlike 2.0 Genericの下で公開されます。Original text: Copyright© 2006-2010 Community Scheme WikiJapanese translation: Copyright© 2011 SATOH Koichi本文部分継続(Composable continuation)は継続区間を具象化することで制御を逆転させるものです。 ウンザリするほど複雑な概念を表す長ったらしいジャーゴンのように聞こえますが、実際はそうではありません。今からそれを説明します。resetとshiftという2つのスペシャルフォームを導入するところから始めましょう[1]。 (reset expression)は特別な継続を作るなりスタックに目印を付けるなりしてからexpressionを評価します。簡単に言えば、expressionが評価されるとき、あとから参照できる評価中の情報が存在するということです。 実際にはshiftがこの情報を参照します。(shift variable expression)は目印のついた場所、つまりresetを使った場所にジャンプし、その場所からshiftを呼び出した場所までのプログラムの断片を保存します; これはプログラムの区間を「部分継続」として知られる組み合わせ可能な手続きに具象化し、この手続きにvariableを束縛してからexpressionを評価します。組み合わせ可能(Composable)という語はその手続きが呼び出し元に戻ってくるため、他の手続きと組み合わせられることから来ています。 Composable continuationの別名として例えば限定継続(Delimited continuation)や部分継続(Partial continuation)もありますが、ここでは一貫して「組み合わせ可能」という用語を使います(訳注: …

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