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Project Euler - Problem 12

問題

  • 原文

    What is the value of the first triangle number to have over five hundred divisors?

  • 日本語訳

    501 個以上の約数をもつ最初の三角数はいくらか。

解答

約数の個数は素因数分解の結果から求めることができます。 例えばn = pa * qb(pとqは素数)という合成数がある場合、約数は以下の表のようになります:

1pp2...pa
qp * qp2 * qpa * q
q2p * q2p2 * q2pa * q2
...
qbp * qbp2 * qbpa * qb

p0 = q0 = 1であることを考えれば、0..aの(a + 1)通りのpのべき乗と、0..bの(b + 1)通りのqのべき乗を掛け合わせた数がnの約数であることが分かります。 これは素因数が3つ以上の場合も同様で、一般にpa * qb * rc * ...の約数は(a + 1)(b + 1)(c + 1)...個存在します。

Problem 3で使った素因数分解を行う関数factorizeを改良し、各素因数について、べき乗回数をcdrに入れたペアのリストを返すようにしました。

(define (triangle-number n) (* (+ 1 n) (/ n 2)))
(define (factorize n)
  (define max-divisor (floor->exact (sqrt n)))
  (define (factorize-1 n div result)
    (if (> div max-divisor)
        (if (= n 1) result (cons (cons n 1) result))
        (let count ((n n) (i 0))
          (define (divisor? m) (zero? (modulo n m)))
          (if (divisor? div) (count (/ n div) (+ i 1))
              (factorize-1 n (+ div 2)
                           (if (zero? i) result
                               (cons (cons div i) result)))))))
  (let prepare ((n n) (i 0))
    (if (even? n) (prepare (/ n 2) (+ i 1))
        (factorize-1 n 3 (if (zero? i) '() (cons (cons 2 i) '()))))))
(define (num-of-divisors-of n)
  (apply * (map (lambda (factor) (+ (cdr factor) 1)) (factorize n))))
(define (solve)
  (let loop ((i 1))
    (define tri (triangle-number i))
    (if (> (num-of-divisors-of tri) 500) tri
        (loop (+ i 1)))))
(define (main argv)
  (display (solve))
  (newline))

参考文献

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この文書についてこれはCommunity Scheme Wikiで公開されているcomposable-continuations-tutorial(2010年09月30日版)の日本語訳です。誤字脱字・誤訳などがありましたらコメントあるいはメールで御指摘いただけると幸いです。本訳は原文のライセンスに基づきCreative Commons Attribution-ShareAlike 2.0 Genericの下で公開されます。Original text: Copyright© 2006-2010 Community Scheme WikiJapanese translation: Copyright© 2011 SATOH Koichi本文部分継続(Composable continuation)は継続区間を具象化することで制御を逆転させるものです。 ウンザリするほど複雑な概念を表す長ったらしいジャーゴンのように聞こえますが、実際はそうではありません。今からそれを説明します。resetとshiftという2つのスペシャルフォームを導入するところから始めましょう[1]。 (reset expression)は特別な継続を作るなりスタックに目印を付けるなりしてからexpressionを評価します。簡単に言えば、expressionが評価されるとき、あとから参照できる評価中の情報が存在するということです。 実際にはshiftがこの情報を参照します。(shift variable expression)は目印のついた場所、つまりresetを使った場所にジャンプし、その場所からshiftを呼び出した場所までのプログラムの断片を保存します; これはプログラムの区間を「部分継続」として知られる組み合わせ可能な手続きに具象化し、この手続きにvariableを束縛してからexpressionを評価します。組み合わせ可能(Composable)という語はその手続きが呼び出し元に戻ってくるため、他の手続きと組み合わせられることから来ています。 Composable continuationの別名として例えば限定継続(Delimited continuation)や部分継続(Partial continuation)もありますが、ここでは一貫して「組み合わせ可能」という用語を使います(訳注: …

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